dissabte, març 29, 2014

e


"To infinity and beyond"


M'agrada iniciar les meves classes del curs de matemàtiques del batxillerat científic confrontant a l'alumnat amb les subtileses del concepte d'infinit (de l'infinitament gran i de l'infinitament petit) i algunes de les seves conseqüències aritmètiques i geomètriques. I és que realment, per molt que passen els anys i  torno a visitar aquestes idees no puc deixar de sorprendre'm de la seva extraordinària bellesa i profunditat matemàtica.

Sobre la immensitat dels nombres reals i el seu procés de construcció ja vaig escriure un post farà un parell d'anys (http://mcanosan.blogspot.com.es/2011/09/construint-reals.html). Llavors vaig acabar l'article prometent que dedicaria un altre post per parlar d'algun dels nombres reals transcendents , així que encara que cada cop dilato més les meves entrades al Cròniques, aquí teniu un altre exemple de per què l'infinit és una criatura molt i molt especial.

Comencem considerant les següent sumes parcials de nombres racionals:

S0 = 1
S1 = 1 - 1/1
S2 = 1 -1/1 + 1/2
S3 = 1 -1/1 + 1/2 - 1/6
S4 = 1 -1/1 + 1/2 -1/6 + 1/24
S5 = 1 - 1/1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120
......
.... i en general la suma:
Sk = 1 -1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! -......+ (-1)k/k!

És ben conegut per tothom que la suma de nombres racionals dona com a resultat un nombre racional, així que la successió de sumes parcials {Sk} és una successió de nombres racionals. Fins aquí la nostra intuïció aritmètica bàsica i la certesa matemàtica van de la mà, però que passa si en comptes de sumar un nombre finit de fraccions sumem un nombre infinit de fraccions? el resultat continuarà sent un nombre racional?? Aquí la intuïció ens porta afirmar que efectivament per moltes fraccions que un acabe sumant, si sumem una fracció més a les fraccions anteriors el resultat continua essent racional. Hom pot arribar a dir fins i tot que és tant evident que és absurd discutir-ho, oi?

Doncs bé ja que sembla evident, suposem que podem continuar afegint fraccions ad infinitum a la sèrie anterior, i anomenem p/q (amb q >1 i p/q irreductible) al nombre racional que en resultaria:

p/qS∞ =  1 -1/1 + 1/2! - 1/3! + 1/4! -......+ (-1)k/k! +  (-1)k+1/(k+1)! + ...........

D'altra banda a partir del càlcul derivades coneixem el desenvolupament polinomials de la sèrie de Taylor-MacLaurin per a la funció exponencial e(essent e el nombre d'Euler) : 

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! -......+  xk/k! +...........

Per tant:
  e-1 = 1 - 1 + 1/2! - 1/3! + 1/4! -......+ (-1)k/k! +...........

però aquest desenvolupament coincideix exactament amb el valor de la sèrie de sumes de fraccions anteriors S. Assumim doncs que el recíproc de e és un nombre racional (i per tant que el nombre d'Euler és un nombre racional) a veure què passa :

1/e = p/q = S∞ = 1 -1/1 + 1/2 - 1/3! + 1/4! -......+ (-1)k/k! +  (-1)k+1/(k+1)! + ....

Ara bé S és una sèrie de termes amb signes alternats (+,-,+,-,+.....) per tant la diferència entre dos termes consecutius acota la diferència entre el valor límit i de qualsevol suma parcial, és a dir: 

| 1/e - Sk | ≤ | Sk  - Sk +1  | = ak+1 = (-1)k+1/(k+1)!  , ∀ k > 0

i en particular això serà també cert per k = q:

| 1/e - Sq ≤ | Sq  - Sq +1  | = aq+1 = (-1)q+1/(q+1)!  

A més el valor absolut de qualsevol nombre no nul és major que zero i d'altra banda podem estar segur que qualsevol potència de -1 és sempre menor o igual a 1, per tant:

0 < | 1/e - Sq ≤ 1/(q+1)!
q! · 0  q!·| 1/e - Sq q!/(q+1)!
0 < q! ·| 1/e - Sq ≤ 1/(q+1) < 1  ,q > 1
0  q! ·| 1/e - Sq | < 1
0 < | q!/e - q!·Sq | < 1

Però si acceptem com a vàlida la hipòtesi que 1/e = p/q llavors:

 q!/e = qp/q = q·(q-1)·(q-2)...·1·p/q = (q-1)·(q-2)...·1·p 

i per tant  q!/e és un nombre enter. D'altra banda tenim que:

q!·Sq  q!·( 1 -1/1 + 1/2! - 1/3! + 1/4! -......+ (-1)q/q!)
q!·Sq! -  q! -  q!/2! +  q!/3! + ....... (-1)q·q!/q!

i donat que tots els factors de la forma n! són menors que q! quan n < q  n!/q! és un nombre enter. Per la qual cosa resulta que q!·Stambé és un nombre enter, i com tothom sap la suma o la resta de dos nombres enters qualsevols dona com a resultat un nombre enter. Així que: 

q!/e - q!·Sq | és un nombre enter
,  però hem deduït abans que:
0 <  | q!/e - q!·Sq | < 1

cosa absurda ja que entre 0 i 1 no hi ha cap nombre enter! Per tant per reducció a l'absurd hem de concloure que 1/e no és racional (la nostra hipòtesi de partida) i en conseqüència el seu recíproc, e , tampoc no és un nombre racional QED. El nombre d'Euler pertany a l'infinit reialme dels irracionals, més enllà de 0 l'infinit racional, enter i natural establert per Georg Cantor.

I reprenc aquí la subtilesa: com és possible que sumant infinits nombres racionals el resultat no sigue racional? L'infinit companys, l'infinit és infinitament subtil....

dilluns, novembre 12, 2012

How many roads?

 "Quan tractis amb altres persones recorda que 
els éssers humans no són criatures de lògica,
són criatures d'emocions"
Dale Carnegie

"Finding cool languages, tools, or development techniques is easy
-new ones are popping up every day. 
 Convincing co-workers to adopt them is the hard part. 
The problem is political, and in political fights, logic doesn't win for logic's sake.
 Hard evidence of a superior solution is not enough." 
Terrence Ryan Driving Technical Change


Dissabte passat, després de bastant de temps, vaig tornar a anar a una moguda al voltant del binomi TIC&Educació. Es tractava de la XXII Jornada de Reflexió del Consell Escolar de Catalunya, aquest cop centrada en l'Impacte i la Contribució de les Tecnologies Digitals a l'Educació.  Crec que feia gairebé dos anys que no me desplaçava, n'han estat les causes principals d'una banda la distància dels llocs de trobada (les Terres de l'Ebre acaben sent lluny de tot arreu, en molts sentits...) i de l'altra un cert esgotament personal després dels anys per determinats debats

Reconec que a més dels inconvenients de logística familiar, me feia certa mandra recórrer tot sol el 500 km d'anada i tornada d'Alcanar-Barcelona, assumint un cop més sense retorn el cost de combustible, autopista i pàrquing sense companyia ni conversa. Me sembla que a banda de Mercè Gisbert i jo mateix, no hi havia cap altre ebrenc/a present, així que dedueixo que la presència territorial ebrenca va ser inferior a l'1% dels assistents. No hi vaig trobar ni cap altre professor/a, ni cap director/a de centre, ni cap inspector/a d'educació, ni cap representant institucional, ni cap assessor tècnic docent de les Terres de l'Ebre. Així que una mica tot sol sí que m'hi vaig sentir tot i estar envoltat de gairebé 300 persones de les resta de Catalunya.

Malgrat tot, l'interès pel tema així com el compromís que m'hi lligava prèviament amb la participació en el debat varen fer que la balança s'inclinés a favor d'anar-hi. Hi pujava més amb actitud d'escoltar amb atenció que no pas de parlar, i de fet no vaig parlar-hi gens tot i les intervencions prèvies realitzades en el debat telemàtic obert en quatre grups temàtics:
  1. El paper de les tecnologies digitals en els aprenentatges.
  2. Competència digital i avaluació dels aprenentatges.
  3. Integració de les TIC i organització dels centres.
  4. Altres temes relatiu a les tecnologies digitals i l'educació.
En particular jo vaig decidir centrar-me en participar en el tercer grup de debat per no dispersar-me en excés i perquè a més el tema organitzacional és el que més he analitzat a nivell d'estudi. La jornada s'havia estructurat amb un debat previ que es va iniciar el 18 d'octubre arran de la conferència Canvis econòmics i socials en el segle XXI i les seves implicacions per a les TIC en educació: un marc conceptual  que el professor Robert Kozma va desenvolupar en el marc dels Debats d'Educació organitzats per la Universitat Oberta de Catalunya i la Fundació Jaume Bofill. A més de la conferència prèvia, hi va haver la conferència inaugural La contribució pedagògica de les tecnologies digitals: balanç internacional i perspectives de Francesc Pedró, seguida pel debat en les diferents taules de discussió de grups i de la sessió final de conclusions.



La conferència de Francesc Pedró es podria resumir en el missatge metafòric de la imatge anterior interpretant que l'horitzó visualizat en l'impacte de l'ús de les TIC a l'aula del S.XXI és borrós, difús en gran part, del qual en comencem a enfocar una petita part poc a poc. Està ben establert que l'evolució dels perfils laborals i professionals que reclamen les organitzacions de la societat del coneixement està orientat a cercar persones amb altes capacitats creatives en la resolució de problemes i amb altes capacitats d'intel·ligència socioemocional que sàpiga treballar i cooperar en equips flexibles. Queda clar que si hem d'emprar arguments socioeconòmics per modificar pràctiques i sistemes educatius, tenim motius poderosos per alinear allò que avaluem, allò que ensenyem i com ho ensenyem amb allò que la societat demana.

D'altra banda Francesc Pedró venia a reconèixer que no hi ha en aquests moments cap informe ni estudi a nivell internacional que permeti establir causalitat en l'ús de les TIC a l'aula i la millora del rendiment escolar. S'hi poden establir correlacions, certament, però una cosa és la correlació i l'altra la causalitat. Aquesta afirmació, certament contundent, no ve a dir res més que allò que s'ha dit un i altre cop: que l'arrel de la millora educativa no és pas una pregunta en clau tecnològica sinó de canvi metodològic i pedagògic. La relació causa-efecte prové d'allò que fem amb la tecnologia i com ho fem, però no pas de quanta tecnologia fem servir.

Així que a dia d'avui, va concloure Pedró, no es pot justificar la inversió de TIC en educació en termes de la millora de resultats de rendiment escolar a la vista de les dades que es disposa. Tot i això, Pedró, va fe notar que es poden mesurar efectes diferencials i evidències en accesos a oportunitats socials proporcionades per usos d'entorns educatius tecnològics. Així que s'hauria d'anar en compte en obviar o ignorar aquest fet perquè es podrien eixamplar encara més les escletxes digitals existents entre diferents sectors de la societat, "a veure si en comptes de parlar de nadius digitals haurem de parlar d'orfes digitals!" alertava.

Per això Pedró apuntava que s'ha de defugir tant l'evangelisme tecnològic com el derrotisme tecnoescèptic, tocant de peus a terra amb les possibilitats reals que la integració de les tecnologies de informació en els processos d'aprenentatge proporcionen. Pedró apostava doncs clarament per cercar zones de comfort proper per a l'adopció de canvis tecnològics i metodològics per part del professorat, fent un clar esment a la percepció d'utilitat professional d'aquest canvi en termes d'eficiència i d'eficàcia en la realització de les tasques docents. És a dir s'ha de centrar la qüestió sobre quines eines proporcionen solucions millors a les pràctiques docents professionals establertes a l'hora de saber si s'adoptarà o no.

Així que des del punt de vista de Francesc Pedró hi ha tres principis bàsics que haurien de guiar la integració de les TIC en les centres educatius:
  1. Implicació i motivació: no es poden fer canvis a bord sense comptar amb la tripulació. Aquest no és un viatge que es pugui fer en sol·litari, el lideratge que s'ha d'exercir ha d'orientar-se cap a proporcionar visió i suport a la resta de l'equip.
  2. Conveniència: en el sentit de fer bé allò que és pertinent, convenient, correcte. Do right the right things. Adoptar decisions i eines que faciliten la feina dels membres de l'organització.
  3. Productivat: sense embuts i parlant clar, cercar usos i pràctiques que milloren el rendiment dels processos de l'organització.

Bé, me vaig alegrar especialment de sentir aquestes idees provenint d'algú com Francesc Pedró, perquè precisament s'ajusten exactament a allò que he vingut defensant (sense gaire èxit sembla) des del 2007 sobre el problema i la percepció del canvi en les organitzacions (veure l'apartat corresponen en l'estudi http://www.xtec.cat/~mcano/avui_x_dema/innovaci_i_canvi_en_educaci.html ). A tall d'exemple podeu consultar la presentació que a principis de l'any 2011 vàrem realitzar Artur Tallada i jo mateix a Lleida per exposar el problema del canvi tecnològic en organitzacions:


En conclusió puc dir que la conferència de Francesc Pedró me va permetre revisar, revisitar i reordenar reflexions i conceptes sobre tecnologia educativa que he anat aprenent pel camí en aquests darrers anys, havent-ho expressat en aquest mateix blog, veure per exemple els posts:
Pel que fa a les conclusions de les diferents taules de treball comentaré més especificament les relatives al debat sobre integració de les TIC i organització escolar. Dir que es continuen mantenint en l'anàlisi els eixos bàsics sobre aspectes a tenir en compte en l'organització escolar en entorns d'integració de les TIC que ja apuntava al 2007 en la meva llicència d'estudi  i que recollia posteriorment en els materials de formació inicials de la primera jornada tècnica per a l'adopció del projecte Educat1x1. Gairebé tots els reptes i els fronts de desenvolupament en governança escolar continuen oberts: desde infraestructurals fins a la formació del professorat (tan inicial com permanent), passant per la gestió del canvi, el lideratge, obstacles administratius de tot tipus, l'organització del currículum, la distribució del temps i de l'espai escolar, l'autonomia de centre, la participació de les comunitats educatives o la cerca de materials educatius adients entre d'altres.

És a dir que tenim d'allò més ben delimitat i diagnosticat el problema, però no hi ha manera de treure'n l'entrellat per implementar solucions transversals, viables, sostenibles i d'escala. Per què si ho tenim tan clar, com és que no es fan passos decisius per solucionar-lo? No serà que ens trobem davant d'un problema organitzacional de mil dimonis? d'un problema endimoniat com ja indicava fa 2 anys als Ports Grisos: http://mcanosan.blogspot.com.es/2010/10/education-wicked-problem.html . Tinc la impressió que si no trobem solucions a este problema potser començarà a ser hora de preguntar-se si realment es tracta d'un problema que tingui solució..., perquè si té solució tard o d'hora la trobarem i si no la té no cal que ens amoïnem, no?...o sí?






dilluns, abril 30, 2012

From Stanford with Love











"We envision a future where the top universities are educating not only thousands of students, 
but millions [...] Through this, we hope to give everyone access to the world-class education
that has so far been available only to a select few. We want to empower people with education that will improve their lives, the lives of their families, and the communities they live in."
Coursera 
"No és el coneixement, sinò l'acte d'aprenentatge, 
i no la posessió, sinò l'acte d'arribar-hi, allò que dona el major goig"


Tal dia com avui de l'any 1777 va néixer Carl Friedrich Gauss i he volgut aprofitar aquest petit dia de pont per escriure unes reflexions sobre aprenenentatge i coneixement al Cròniques donat que fa temps que el tinc mig aturat (malgrat el munt d'escrits que tinc en calaixera pel munt de coses que van passant...). I una d'aquestes coses té a veure amb el meu interés per la Teoria de Joc i les seves aplicacions com ja vaig indicar en el post Lliçons de Microeconomia (I).

D'aquest interés va sorgir la inquietud per ampliar-ne coneixements sobre el tema, i fruit d'aquesta inquietud vaig acabar descobrint el curs Game Theory impartit pels professors de Stanford, Matthew O. Jackson i Yoav Shoham  a través de l'oferta formativa de Coursera. Coursera és a la vegada una iniciativa educativa i una plataforma gratuita d'e-learning que agrupa cursos avalats i desenvolupats per professorat de les universitats de Princeton, Stanford, Michigan i Pennsilvania. El concepte i la visió educativa de Coursera va més enllà de la idea  de Opencourseware desenvolupada pel MIT o l'iTunes-U d'Apple, ja que no només es posen a disposició materials educatius de forma gratuita sinò que s'organitzen en forma de cursos que s'avaluen i en certifiquen l'aprofitament de l'aprenentatge realitzat. Aquests cursos cobreixen actualment, entre d'altres, coneixements d'àmbits diversos d'Humanitats, Medicina, Biologia, Ciències Socials, Matemàtiques, Economia i Empresa, Informàtica i Matemàtiques.

Just ahir vaig finalitzar (només me queda fer l'examen final) el curs de Game Theory que ha durat 5 setmanes. Ha estat el primer contacte amb Coursera i de ben segur que no serà el darrer, però no vull deixar passar el moment de fer tres anotacions sobre com he viscut aquesta experiència inicial:

i) Idioma, multiculturalitat i globalitat 
No tinc les dades exactes a les mans del nombre d'estudiants (només de procedència hispanoparlant hi ha 380 membres registrats al grup ad-hoc de facebook...) que hem seguit aquesta edició del curs però per tal de fer-se una idea els països de procedència que tinc detectats eren: Gran Bretanya, Iran, Grecia, Colòmbia, Argentina, Perú, Xile, Urugay, Veneçuela, Paraguay, Mèxic, Equador, Bolívia, El Salvador, Guatemala, Espanya, Costa Rica, Brasil, India, Hungria, Canadà, Taiwan, Ucraïna, Xina, Vietnam, Polònia, Romania, Alemània, Rússia, Bulgària, Singapur, Itàlia, Aràbia Saudí, Lituania, Hong Kong, Nepal, Eslovàquia, Txèquia, Turquía, Estats Units, França,  Korea, Holanda, Austria, Portugal, Indonèsia, Sèrbia, Austràlia, Israel, Filipines, Pakistán, Dinamarca, Nova Zelanda, Japó, Sudàfrica, Finlàndia, Ghana, Islàndia, Maylasia, Tailàndia, Vietnam, Mongòlia i Marroc. Alumnat de més de seixanta països interactuant a l'aula en una sola lingua franca acadèmica: english.

Tinc la percepció que el nostre sistema educatiu públic (i me refereixo a tots nivells administració, centres i professorat) encara no és conscient del caràcter estratègic essencial que té la competència lingüística en anglès. I quan parlo d'aquest caràcter estratègic no només me refereixo a dotar a l'alumnat de la capacitat per poder-se moure pel món, ja sigue viatjant o emigrant, sinó sobretot de proporcionar-li una eina comunicativa clau per a l'accés universal als textos, continguts, coneixements i formació continuada en el s.XXI. O ens prenem seriosament la immersió lingüística curricular en anglès o els nostre jovent tindrà serioses dificultats de reeixir al món. En aquest sentit tenim/tinc més d'una assignatura pendent.

ii) E-learning
El format de continguts i estructura formativa del curs en una plataforma pròpia (diguem que un híbrid entre un moodle i un webCT, però força limitada) es pot sintetitzar els següents elements:
.- Classes magistrals disponibles en format de videolliçó online i descarregable per visionar offline en mp4.
.- Presentacions breus en format pdf de suport a les videolliçons.
.- Fòrums de debat i dubtes.
.- Activitats on-line de lliurament periòdic setmanal en format qüestionari autoavaluable.
.- Documentació i textos de referència descarregables.
.- Screenside chats sincrònics en forma de hangout via google+  amb vídeos disponibles asincrònicament.
.- Grups d'estudi informals autorganitzats a través de xarxes socials com Facebook o Cercles de Google+. 
.- Examen final online (temps límitat de connexió) i avaluació d'aprofitament: 70% prova i 30% lliuraments.

El model d'e-learning que més conec a casa nostra és de la UOC i comparativament crec que puc dir que el seu model pedagògic és bastant més sòlid i solvent en alguns aspectes (per exemple els seguiment i les tutories individualitzades), però que en d'altres no resulta millor encara que sigue de pagament i fa bé de prendre nota del tsunami de formació informal que s'albira a la xarxa.

iii) Matemàtiques.
Si abans parlava del caràcter estratègic de la competència en llengua anglesa, no resulta menor la importància del coneixement matemàtic per assolir formació científica i tècnica a nivell superior. El nucli dur de continguts, destreses i competències matemàtiques per al seguiment d'estudis continua essent el mateix: geometria, àlgebra, anàlisi, probabilitat i estadística. Però a més, ara hi caldria sumar tota una sèrie de competències que formen part d'un currículum paral·lel ampliat com seria: programació informàtica en algun llenguatge, coneixements de software matemàtic específic (Mathematica Wolfram, Geogebra, Minitab, ...), edició matemàtica amb LaTeX o els nous formats CDF de documents computables, manipulació de recursos online com Wolfram Alpha , MathWorld o la pròpia Wikipedia per citar-ne només alguns.

En definitiva la meva impressió és que matemàticament parlant l'horitzó d'allò que cal saber s'ha eixamplat extraordinàriament en molts pocs anys, generant un portafoli d'aprenentatge enorme. Res millor per prendre consciència d'aquest canvi de bagatge que posicionar-se amb rol d'alumne en un aula de context internacional a través de la xarxa. La presencialitat en la formació mantindrà una importància cabdal, però el nostre rol com a docents ha d'evolucionar necessàriament cap al de guia d'autoaprenentatge. No cal dir que no crec que el professorat de Catalunya hi estem preparats ni de lluny per aquest impacte i, afegeixo de retruc, crec que l'alumnat tampoc. Un alumnat massa acostumat a rebre continguts educatius precuinats de ràpida ingesta i nefasta digestió, massa sovint predisposat a arronsar el nas davant de l'exigència d'esforç intel·lectual que representa cercar coneixements, respostes i preguntes per ell mateix. A tots plegats, professorat i alumnat, ens convé reflexionar força, però sobretot actuar sense més dil·lació per adaptar-nos a un tren en marxa que ja no ens espera més.

diumenge, setembre 18, 2011

Construïnt Reals

 "natura no facit saltus"



Digueu-me pitagòric, però m'agrada pensar que la matemàtica neix dels nombres i les màgiques relacions que s'hi estableixen, fascinants al meu parer. Després de la presentació dels primers dies i les explicacions prèvies sobre la misteriosa naturalesa de l'univers matemàtic, dels infinits, del concepte de nombre i els sistemes de numeració, divendres passat vaig dur a terme la primera sessió de treball del curs de Matemàtiques a l'alumnat de 1r de Batxillerat de l'Institut Sòl-de-Riu d'Alcanar.  La temàtica de la classe tenia a veure amb les nombres, en concret amb la construcció del conjunt ℝ de nombres reals a partir de la necessitat d'ampliació numèrica generada en la cerca de solucions a determinades equacions.

Així partint del conjunt elemental de nombres naturals que emprem per comptar quantitats enteres positives, hom pot observar que cap de les equacions del tipus:

x + a = 0
(essent a )

té solució en el conjunt natural. És a dir no existeix cap nombre natural x que satisfaci l'equació anterior. ( Per exemple no hi ha cap nombre natural x tal que x + 1 = 0). Aquesta limitació permet estendre el camp de nombre naturals al conjunt ℤ dels nombres enters, definit com l'ampliació de ℕ amb els seus oposats (negatius) respecte l'operació de suma: 

ℤ = {0}{-xx i (-x)+x = 0}


Tot i aquesta ampliació dels naturals als enters, és fàcil observar que existeix tota una família d'equacions que continuen sense tenir solució en el camp enter:

a·x = b
(essent a,b -{0} i b no múltiple de a)

Per exemple l'equació 2x =1 no té solució entera. Per salvar aquest obstacle es pot procedir a una segona ampliació del camp numèric introduint el conjunt dels nombres racionals  amb els inversos respecte l'operació de multiplicació:

ℚ = {b/a , amb  a,b -{0} i b no múltiple de a}
ℚ = {b/a , a,b ℤ i a ≠ 0}

D'aquesta ampliació en sorgeixen els nombres expressats en forma de fracció i que ens resulten tan familiars: 1/2 , 2/3, 1/5, 8/9,....representant precisament quantitats no enteres d'una determinada magnitud (com ara la part d'un pastís, d'una despesa o d'una herència....jejeje) o bé la raó (proporció) entre dos quantitats enteres. Amb els nombres racionals cal apuntar que podem tenir fraccions diferents que representen una mateixa quantitat, llavors cal tenir en compte que de fet aquestes fraccions són equivalents i corresponen a un únic nombre. Per exemple:

{1/2} = 2/4 = 4/8 = ....

Diem llavors que dos fraccions a/b i c/d són equivalents quan es verifica que:

a· d = b · c a/b = c/d

i que una fracció a/b és irreductible quan a i b no tenen factors primers enters comuns excepte l'1 (és a dir són coprimers). De forma general identifiquem cada fracció irreductible com la representant de classe d'un nombre infinit de fraccions equivalents del mateix nombre racional.

Els nombre racionals també admeten una visualització numèrica posicional amb xifres que coneixem com a sistema de representació decimal (per la base 10). Donat que el sentit dels nombres racionals és expressar una relació de parts o una proporció entre entre dues quantitats, podem entendre aquesta raó en termes del repartiment que es genera quan s'efectua la divisió entre les dues quantitats:

a/b = a : b

Si per representar els nombres emprem el sistema numèric posicional decimal, llavors el resultat de la divisió anterior pot ser o bé:
  • un nombre amb un número finit de xifres decimals
  • un nombre amb un número infinit de xifres decimals, però que a partir de determinada posició es repeteixen periòdicament (decimals periòdics)
,com ara per exemple:  5/4 =1,25 ; 1/3 = 0,33333.... ; 6/7 = 0,857142857142..... ;  14/15 = 0,933333....


De forma que donat qualsevol nombre expressat en base 10, amb un número finit de decimals o bé amb un número infinit de xifres que es repeteixen a partir d'una determinada posició és possible obtenir-ne la fracció generatriu irreductible de la qual deriva. En el primer cas aquesta operació és simple d'efectuar, per exemple:

8,36 = 836/100 = 209/25

En el cas d'infinits decimals que a partir d'una determinada posició es repeteixen cal procedir manipulant el nombre decimal fins deixar a la dreta de la seva coma exclusivament els decimals que es repeteixen periòdicament i a l'esquerra una quantitat entera que operada adequadament amb el nombre original permeti obtenir una fracció. Per exemple:

si x = 1,55555... = 1,5 10x = 15,55555...= 15,5
per tant 10x - x = 15,5 - 1,5= 14 ⇒ 9x = 14 ⇒ x =14/9
o bé:
si x = 0,125151... = 0,1251 100x = 12,515151...= 12,51 i 10000x = 1251,51
per tant 
10000x - 100x = 1251,51 - 12,51= 1239 
⇒ 9900x = 1239 x =1239/9900 = 413/3300

Però hom s'adonarà que és relativament fàcil imaginar-se alguns nombres amb infinits decimals en què no apareix cap seqüència que es repeteixi. Per exemple qualsevol com aquest:

1,02002000200002000002000000200000002000000002..........

Quina mena de nombre decimal "estrany" és aquest??? Si és impossible obtenir-ne una fracció generatriu, això vol dir que no és racional?? És a dir, existeixen nombres que representen una quantitat finita i que no són expressables en forma de raó entre dues quantitats enteres mesurables??

Doncs la resposta és que sí! i aquest fet va desconcertar profundament als pitagòrics grecs incapaços d'encaixar en el seu model matemàtic aquesta idea, horroritzats per aquesta aberració numèrica i el problema de la no conmesurabilitat. Anomenem a aquests nombres, irracionals (no pas perquè no siguen comprensibles jejejeje) per reflectir que no es poden expressar en forma de fracció i per tant no formen part del conjunt dels nombres racionals. Això vol dir que cal procedir a una tercera ampliació del camp numèric creant un conjunt numèric més ampli per encabir aquests nous nombres.

Una part d'aquesta nova ampliació es pot efectuar de forma similar a les anteriors, és a dir partint de la base que existeixen equacions que no troben solució en el conjunt numèric anterior, en aquest cas en el camp racional. Per exemple hi ha equacions del tipus:

xn = a 
(essent a,n ℚ)

, sense solució x racional. Aquest és el cas simple de la famosa equació x2= 2, malgrat que hom pot veure que existeix un nombre el quadrat del qual és 2 i que és fàcilment construïble a partir del Teorema de Pitàgores aplicat a la diagonal d'un quadrat de costats unitaris:
ja que essent x el nombre que representa la longitud d'aquesta diagonal, llavors s'haurà de verificar que:

x2= 12+12 = 2

I encara que sigui difícil de creure aquest nombre geomètricament ben palpable que s'obté amb nombres racionals simples és impossible d'expressar en forma de fracció! El descobriment d'aquest nombre, conegut des de fa més de 2500 anys, s'atribueix històricament a Hipàs de Metapont filòsof presocràtic i membre de la secta pitagòrica (de la qual sembla que acabaria sent expulsat precisament per trencar l'estricta regla de silenci arran de provar l'existència de nombres no racionals).

Existeixen diverses proves matemàtiques de la irracionalitat de la diagonal del quadrat de costat 1, però particularment a mi la que més m'agrada és una basada en el mètode de demostració per reductio ad absurdum, un exemple sublim del principium tertium exclusum (o A és B o A no és B). Vejam com s'aplica en aquest cas:
Suposem que x, la diagonal de quadrat de costat 1, és un nombre racional. Llavors existeix una fracció irreductible p/q que representa el nombre racional x, és a dir:
p/q = x (verificant-se que x2 = 2)
Donat que p/q és irreductible, s'haurà de verificar que si p és parell llavors q és senar (ja que en cas contrari tots dos serien divisibles per 2, però això voldria dir que p/q no és irreductible i es podria simplificar).
a) Suposem doncs que p és parell.  (és a dir, q senar)
En aquest cas p sempre es pot escriure de la forma p = 2k (essent k un nombre natural). Llavors p2 = 4k2, però com p/q = x i x2 = 2  p2 = q2·x2  4k2 = q2·2  2k2 = q2
Però això vol dir que q2 és un nombre parell, cosa impossible ja que com q és senar no pot incloure el 2 en la seva descomposició en factors primers i per tant si s'eleva al quadrat (és a dir s'eleven al quadrat tots els seus factors primers) tampoc pot incloure el 2. En conclusió p no pot ser parell ja que en cas contrari arribem a un absurd.
b) Suposem doncs el contrari,  p és senar.  
Llavors com p/q = x i x2 = 2  p2 = q2·x2  p2 = q2·2 
Però això vol dir que p2 és un nombre parell, cosa impossible ja que com p és senar no pot incloure el 2 en la seva descomposició en factors primers i per tant si s'eleva al quadrat (és a dir s'eleven al quadrat tots els seus factors primers) tampoc pot incloure el 2. En conclusió p no pot ser senar ja que en cas contrari arribem a un absurd.
Però si proposant la hipòtesi que x (la diagonal del quadrat de costat 1) s'escrigui en forma racional p/q, arribem al resultat absurd que p no pot ser ni parell ni senar, llavors hem de concloure de forma contundent que la proposició anterior és falsa i per tant el nombre x que representa la diagonal del quadrat de costat no és racional. Q.E.D. (quod era demostrandum)
Anomenem a aquest nombre x = √2 i òbviament ha de ser un nombre que conté infinites xifres decimals no periòdiques. Veurem en un altre post com es poden calcular aquestes xifres decimals a partir d'aproximacions successives mitjançant l'algorisme de l'arrel quadrada fonamentat en el binomi de Newton.


Existeixen infinits nombres no racionals de la mateixa naturalesa que √2, obtinguts a través de les equacions generals del tipus xn = a (essent a,n ℚ) i combinacions d'aquests a través de les operacions aritmètiques elementals, suma, resta, multiplicació i divisió. En diem el nombres reals algebraics.

Però atenció que això no acaba aquí! El més sorprenent és que a la realitat encara hi ha més nombres que no són racionals i tampoc no admeten una representació amb radicals com a nombres reals algebraics. Possiblement són els més misteriosos de tots els nombres que existeixen per representar quantitats. Aquesta família de nombres s'anomenem reals transcendents i de tots ells el més famós per mèrits propis és el nombre π . Però d'això en parlarem un altre dia, de moment ens quedem amb la imatge de la construcció del conjunt de nombres reals en forma de diagrama de Venn que ha costat més de tres mil·lenis completar. Per a que després diguen que els matemàtics no tenim paciència....jejeje



I per si voleu practicar una mica amb els reals, podeu començar explorant aquests materials magnífics creat pel company Joan Pedròs: http://www.terresdeponent.com/web/departaments/d_mates/mates/n_reals/portada.html

dimecres, agost 31, 2011

Lliçons de Microeconomia (I)















Sóc mandrós per escriure. Reconec que llegeixo, parlo, escolto i penso molt més que no pas escric cosa que provoca que els meus articles al blog siguen més aviat esporàdics, més aviat resultat de la necessitat d'expressar en veu alta una part de les meves cabòries més que no pas fruit d'un procés sistemàtic d'escriptura pública a la xarxa. El darrer curs escolar ha estat especialment intens en activitats i pròdig en lectures, amb suficient impacte en mi per haver-ne deixat registre escrit. Però el ritme de les tasques del dia a dia, a la feina i a casa, m'han fet caure víctima dels devastadors efectes de la procrastinació,... la resta potser és simplement una inexcusable dosi de "mandrositat" escriptora.

Entre les lectures que han absorbit una part del meu temps destaquen les de temàtica Game Based Learning (GBL).  L'interès pels models didàctics GBL ha fet que d'un temps ençà m'hagi endinsat en explorar el camp del disseny i creació de jocs com a entorns d'aprenentatge tan a nivell individual com organitzacional. I com una abella que salta de flor en flor, l'anàlisi estratègic en el disseny de jocs m'ha portat a retrobar-me amb determinades branques d'estudi de les matemàtiques i del sistemes complexos de la física com ara la Teoria del Joc, directament relacionada amb la Teoria de la Decisió i que juntament amb la Teoria de l'Equilibri, proporcionen el fonament matemàtic d'una part important del camp de l'Economia, en particular de la Microeconomia.

De fet la Microeconomia es defineix com la branca de l'Economia que analitza la interacció i el comportament dels individus per a la presa de decisions en entorns de mercat intercanviant recursos, bens i serveis. Els economistes afirmen que per a comprendre com funciona una economia cal entendre, sobretot, com decidim i fem les nostres eleccions els individus. Unes decisions que, a la seva vegada, es prenen en un entorn condicionat per les decisions dels altres constituint un sistema complex realimentat de mútues influències interaccionant.

Per modelitzar la dinàmica d'aquestes interaccions els economistes fonamenten la microeconomia en 9 principis bàsics per entendre els processos d'elecció individual i col·lectiva (sempre considerats en el marc d'una economia de mercat que es regeix per les lleis de l'oferta i la demanda). Curiosament aquests principis són molt simples d'enunciar i entendre, i és francament complicat mostrar-se en desacord amb ells. A més, en la mesura que proporcionen explicacions al comportaments individuals i grupals, m'ha semblat que seria força inspirador "estendre" el seu àmbit d'aplicació a l'anàlisi dels processos d'innovació i canvi a les organitzacions educatives.

 Comencem pels 4 principis bàsics de l'elecció individual:

1r. ELS RECURSOS SÓN ESCASSOS.
És a dir, no es pot tenir tot el que volem. Els individus fem les nostres eleccions en un context de restriccions de tot tipus: recursos, persones, temps, coneixements...Vivim en un món amb limitacions que restringeixen les nostres possibilitats d'elecció en competència amb la resta de persones que també prenen decisions d'elecció, per la qual cosa és fonamental aprendre a renunciar, sacrificar i prioritzar. Quan un recurs és molt demandat en el mercat s'incrementa el seu valor i es pot modular la seva oferta a partir d'una política de preu per augmentar el cost d'adquisició.

Si pensem en termes de gestió del canvi a les organitzacions, caldria dimensionar correctament els recursos necessaris per realitzar el canvi proposat i conèixer amb quin cost es disposa d'accés o no a aquests recursos. Per exemple, els individus podríem decidir no involucrar-nos en un procés de canvi perquè no disposem dels recursos o bé perquè no estem disposats a sacrificar-ne uns altres.

2n. COST D'OPORTUNITAT: EL COST REAL D'UNA COSA ÉS ALLÒ AL QUE S'HA DE RENUNCIAR PER TENIR-LA.
En realitat tots els costos són costos d'oportunitat ja que que quan prenem una decisió per obtenir alguna cosa sempre renunciem a alguna altra cosa. A voltes aquesta altra cosa es pot mesurar directament en termes monetaris (quantitat de diners), però per regla general les eleccions que realitzem comporten renúncies amb cost indirecte o de valor més intangible. Per exemple si optem entre dues oferta laborals, l'elecció d'una comporta la pèrdua directa del sou de l'altra. Potser ens decidirem per la que ofereix major sou mensual, però llavors potser caldrà treballar més hores o assumir majors responsabilitats que comportaran majors mals de caps. Per tant en l'elecció també s'ha d'assumir el cost indirecte que representarà l'increment de feina i les seves conseqüències d'estrès. També es pot afirmar que en el sacrifici o renúncia a alguna cosa a curt termini podem estar valorant l'oportunitat de guany d'una altra a més llarg termini (per exemple quan es decideix invertir temps i diners en formació o quan estalviem en comptes de gastar en lleure).

En els processos de canvi a les organitzacions caldria adoptar la perspectiva de cost d'oportunitat per entendre els motius pels quals els individus decidim participar o no en el canvi proposat. Sempre que s'ens demana adoptar un canvi i deixar de fer una cosa per passar a fer-ne una altra, hi ha cost d'oportunitat entremig. A més si bé el cost directe pot ser objectiu i estar ben quantificat, el cost indirecte pot ser relatiu a cada individu i més difícilment quantificable. No és d'estranyar doncs que algunes persones presentin més resistències al canvi que altres si pensem que la seva percepció de cost d'oportunitat és diferent.

Per exemple, en l'adopció d'una nova metodologia, material o tecnologia a l'aula, si la decisió de realitzar aquest canvi és de tipus individual, hi ha professorat que podria considerar que el seu cost d'oportunitat és excessivament elevat (posem per cas que hagués de dedicar major temps de dedicació a la preparació dels materials i cerca de recursos per cada hora de classe emprada) i no paga la pena renunciar al seu mètode anterior per obtenir uns resultats que valora si fa o fa semblants en termes de competències de l'alumnat.

3r. "QUANT", ÉS UNA DECISIÓ DE MARGE.
La clau per decidir quina quantitat d'alguna cosa s'ha de fer o s'ha de pagar per obtenir alguna altra, resideix en la valoració del marge (M=B-C) de diferència entre el cost (C) i el benefici (B) que s'obtindrà derivat d'aquesta decisió. Conscient o inconscientment, formal o informalment, correcta o incorrectament sempre estem calculant marges quan prenem una decisió entre diferents opcions de dedicació, intensitat d'esforç, cost o inversió que hem de realitzar. Per regla general els individus pensem que si el marge és negatiu, és a dir si el cost és major que el benefici que creiem que obtindrem llavors declinem la decisió. I normalment contra major és el marge d'una opció enfront d'altres llavors més fàcilment ens inclinem per una elecció determinada.

Per exemple, suposem que en una organització es vol implementar un entorn d'integració avançada de les TIC. Fins a quin punt s'hauria de formar als individus de l'organització en el nou entorn i a quin cost per tal que la millora de benefici que s'obtingués en el productes/servei generat com a conseqüència del nou entorn no provoqués un marge negatiu? No sempre més cost significa més marge, només i només si incrementar costos garanteix generar molt més benefici.

4t. EN GENERAL LES PERSONES APROFITEN LES OPORTUNITATS.
Tenint en compte el primer principi de restricció de recursos, per regla general els individus tendim a aprofitar totes les oportunitats que s'ens presenten per a continuar millorant i ho fem mentre podem. Aquest principi és la base de totes les prediccions sobre la conducta (racional) dels individus en entorns microeconòmics. De tota manera es podria puntualitzar que allò que s'entén per oportunitat i que la percepció de la millora és relativa a cada individu en funció de l'esforç que caldria realitzar. Així mateix es podria objectar que una oportunitat de millora a nivell individual podria comportar un empitjorament de la resta d'individus, i que en observar els efectes d'aquesta decisió l'individu acabés considerant que com l'empitjorament del grup el perjudica, llavors l'oportunitat de millora no és tal.

Aplicat a la gestió del canvi, les conseqüències són fàcils de deduir: si els individus de l'organització no perceben una oportunitat de millora adoptant decisions en la línia dels canvis proposats, llavors per regla general aquestes decisions no es prendran i el canvi no es produirà per molt que els directius s'hi maten. Per tant la qüestió que caldrà plantejar-se a continuació és quins individus no perceben oportunitats de millora? per quin motiu? quina accions s'hauria d'introduir per capgirar la situació de percepció d'oportunitats de millora? hi ha prou incentius i de quin tipus?

Deixo per a un segon post els altres 5 principis bàsics que tenen a veure amb els processos d'elecció col·lectiva. 
 
[Bibliografia de referència: Microeconomics, by Paul Krugman & Robin Wells ]

dissabte, abril 16, 2011

#500palabras

"We will look at back in this point
in history and see it as a turning point
...education is the key to that"
Sir Ken Robinson





Los compañeros de la iniciativa http://purposedes.org/ tienen en marcha una buena movida alrededor de los educadores que estamos en la red para construir una visión, un propósito compartido sobre aquello que creemos que debe ser la educación del mañana y cómo empezarla a construir hoy. Y me han embarcado en el proyecto! No es la primera vez que participo de experiencias similares  (por ejemplo  en 2008 otro grupo de visionarios en Catalunya nos lanzamos a un ejercicio de prospectiva con  el horizonte temporal de una década, al experimento lo llamamos Escola 2018 y conseguimos mantenerlo vivo durante 2 años) puesto que creo firmemente en la necesidad de construir esas visiones  compartidas a través de las conversaciones que fluyen informalmente. 

Aún desde la lejanía de la virtualidad notamos la calidez y la fuerza de la palabras. Notamos la pasión, la misión, la visión, la lucidez y el compromiso inquebrantable que se descubre entre las líneas de esos breves textos. Sólo son palabras, nada más que un puñado palabras que se exclaman por hacerse oír entre tanto ruido de desánimo y pesimismo. Pero cuando echemos la vista atrás por encima del hombro y leámos de nuevo esas palabras, aunque sólo sean palabras lanzadas a la red, nos sentiremos orgullosos de ellas y entenderemos porqué luchamos con inocencia por cambiar el mundo con ellas. Así que aquí os dejo mis #500palabras y algunas más de propina...

Como educador mi propósito para una nueva escuela es volver a ser niño. Poder entrar en ella  de nuevo con la mirada de un niño, con su energia, su curiosidad y capacidad de sorpresa descubriendo el mundo. Ser niño para saber reir y llorar, y volver a emocionarme con el juego, con las amistades juradas eternas y  las rencillas del patio. Ser niño para tener de nuevo esa gigantesca capacidad de aprender de todo, porque todo está por aprender. Ser niño para entender  con el corazón y transmitir con la razón qué nos aburre de nuestros educadores y qué nos impulsa a abrir la mente.

Ellos no lo creen, son humildes, pero son nuestros mejores maestros, nuestros niños y niñas. Nuestros mayores tesoros y secretos sobre aprendizaje se ocultan escurridizos en sus miradas. Para aprehenderlos debemos escucharles y hablarles, no sólo con palabras, también con gestos, con sonrisas, con emociones y con actos. No creo que debamos esperar gran cosa de grandes planes y reformas de la educación que no provengan de los propios niños. Ellos saben qué escuela quieren y qué escuela necesitan. Saben muy bien porqué la necesitan y para qué nos necesitan a nosotros, los mayores, padres, madres y educadores, a su lado. 

Los sabios ancianos dicen que la tribu entera siempre fué necesaria para aprender alrededor del fuego.  Así pues, qué buena historia les contaremos esta noche? Qué nuevas enseñanzas esconderá? Cómo la pondran en práctica? Cómo fortaleceremos su espíritu para seguir aprendiendo mañana? Cómo hablarán de nosotros a sus hijos, y los hijos de sus hijos? Cuál queremos que sea nuestro legado como educadores?

Miro a mis dos hijas a los ojos y no hago sino que pensar en ello una y otra vez. No he planificado su aprendizaje, no tengo ni programación didáctica, ni currículum que seguir...tampoco habia seguido formación alguna cuando las cogí en brazos por primera vez. No hay títulos de grado que acrediten la compentencia de padre. Aprendo cada dia de ellas. Me equivoco, se equivocan, lo volvemos a intentar, avanzamos, caemos, retrocedemos y nos volvemos a poner en pie. En el fondo se trata de eso, de eso va el aprender.

Estoy convencido que educar es una actitud vital, que difícilmente se puede considerar cómo un ejercicio profesional separado de la forma en que uno siente, interpreta y vive el mundo. En algún momento cruzaremos nuestras miradas con la de nuestros alumnos y si no somos capaces de reconocer en ellas a nosotros mismos como el niño que fuimos o a nuestros propios hijos, entonces no habrá duda, porque immediatamente sabremos que esa no era la escuela que teníamos el propósito de construir.

Nací en 1969, un año alucinante a mi entender, y no porque yo naciera junto a un mogollón más de babyboomers, sino porque tocamos la Luna. Esperad, lo vuelvo a escribir poco a poco: t o c a m o s  l a  L u n a. Metieron a tres hombre en un cohete, los enviaron fuera del planeta a más de 380.000 km de distancia, lo echaron en directo por la televisión, alunizaron y alucinó el planeta entero, caminaron por Selene, despegaron, volvieron a caer desde 380.000 km de altura y vivieron para contarlo al mundo. Pero vamos a ver,  a los que nos llaman ilusos, cómo no vamos a creer las generaciones Apollo que es posible cambiar la escuela? Puesto que crecimos en una época de héroes, gigantes y soñadores, me voy a permitir el lujazo de parafrasear a Johnn F. Kennedy : debemos hacerlo no porque sea fácil hacerlo, sino porque es difícil. Y tenemos el deber moral de intentarlo y conseguirlo, a eso vamos y en eso estamos.

dimarts, març 08, 2011

Enginyeria d'indicadors

El físics acostumem a dir que allò que no es mesura és metafísic.
El que passa és que a voltes a la vida allò més important és precisament allò que no es pot mesurar....quantitativament.

l'autor.




"Everything that can be counted does not necessarily count;
everything that counts cannot necessarily be counted."
Albert Einstein

"Sólo se ve bien con el corazón; lo esencial es invisible a los ojos."
Antoine de Saint-Exúpery




El bon amic Artur Tallada va publicar ahir un interessant post sobre Teoria Bàsica d'Indicadors de lectura recomanable, i a més me l'ha dedidat...jejeje. Com bé diu l'Artur tots dos portem un cert temps junts pegant-li patades a la pilota dels models de gestió de la qualitat en organitzacions educatives (veure els posts de qualitat a l'aula I, II i III) i al disseny de les mètriques involucrades. Segurament aquest tema mereixeria un article més extens o tota una sèrie d'articles per abordar-lo amb certa profunditat i rigor, però no he volgut desaprofitar l'oportunitat de dir-hi la meva arran de la conversa iniciada ahir via Twitter i a l'espera del segon post sobre indicadors que l'Artur ha promès fer (t'he pillat la paraula!).

En concret el que jo volia apuntar en aquest post era precisament posar en discusió el criteri de construcció matemàtica de la mesura relativa (%) del paràmetre de millora (I, improvement) sobre els indicadors es fa sota una fòrmula del tipus:

millora = (valor final - valor inicial) / (meta - valor inicial)
 on:

valor inicial (Vi, initial value) = valor inicial de l'indicador considerat abans de les accions de canvi i millora
valor final (Vf, final value) = valor final de l'indicador considerat després de les accions de canvi i millora
meta (T, target) = valor marcat com objectiu a assolir en l'indicador considerat com a resultat de les accions de canvi i millora

A efectes de simplificar la notació definirem:

variació de resultats de l'indicador (∆V) = valor final - valor inicial = Vi-Vf
variació de meta de l'indicador (∆T) = meta - valor inicial = T-Vi

És a dir que segons apunta l'Artur en el seu post, i que sembla que s'aplica de forma estàndar en les mètriques pròpies de les metodologies de planificació estratègica dels nostres centres educatius, la valoració de l'efectivitat de les accions de canvi ve donada per la fòrmula de la funció de millora :
I = ∆V/∆T

Si considerem Vi i T com a valors constants de l'indicador durant el procés de canvi, i Vf com un paràmetre que pot prendre valors variables (en principi dins de l'interval [Vi, T]), llavors ens trobem davant d'una funció lineal de millora amb pendent 1/∆T:
M =1/∆T
N = - Vi/∆T

amb,
I(Vf)=M·Vf+N
(funció de millora)
, de manera que:
I(Vi) = 0
(representaria el punt de millora nul·la)
I (T) = 1
(representaria el punt de millora màxima fins l'objectiu)
Gràficament:

 [gràfica 1]

És clar que Vf sempre podria prendre valors inferiors a Vi, cosa que implicaria I<0 representant punts de millora negativa, és a dir d'empitjorament de l'indicador considerat després de duur a terme les accions de canvi (situació que evidenciaria el fracàs o la falta d'encert de les accions realitzades).

Ara bé, el que jo questiono és aquesta construcció de la funció de millora relativa I, que des del meu punt de vista s'hauria de definir a partir de la combinació de dos paràmetres relatius de millora:

1.- la millora dels valors de resultat de l'indicador considerat sobre el valor inicial: Iv = ∆V/Vi
2.- la millora dels valors de resultat de l'indicador considerat sobre l'interval: I = ∆V/∆T

En els càlculs científics s'acostuma a definir la variació relativa d'un paràmetre prenent com a referent de base el valor inicial. És a dir que la variació d'un determinat valor és gran o petita de forma relativa a un patró index que constitueix el valor inicial. Així millorar 10 punts sobre 100 (10%) no és el mateix que millorar 10 sobre 1000 (1%), oi?

La funció de millora Iv matemàticament vindria donada per una fòrmula lineal amb:

Mv =1/Vi
Nv =1

Iv(Vf)=Mv·Vf+Nv
(funció de millora)
, de manera que:
Iv(Vi) = 0
(representaria el punt de millora nul·la)
Iv(2Vi) = 1
Gràficament:

[gràfica 2]

Si es defineix la funció millora prenent com a index de referència, no el valor inicial, sinó l'interval de millora generat a partir de la fixació d'un valor meta llavors la interpretació de la millora es substancialment diferent. Per exemple si sobre un valor inicial de referència 100, la meta és 150 i el valor final és 125, s'obté que la millora seria del 50% :

I =  (125-100)/(150-100) = 0,5 = 50%

És a dir que, en aquest exemple, i amb aquesta definició de millora es milloraria el doble que si s'hagués fet el càlcul clàssic!!

Iv = (125-100)/100 = 0,25 = 25%

A més contra menor sigue el valor de meta marcat, major serà la millora. Seguint amb l'exemple, si la meta fos 125 en comptes de 150 llavors la millora obtinguda seria:
I =  (125-100)/(125-100) = 1 = 100% 

, quatre cops major que la millora Iv amb els mateixos valors inicials i finals!!

D'aquesta manera és fàcil deduïr que si ens fixem com a meta un valor inferior al doble del valor inicial de referència per a la millora de l'indicador passarà que I > Iv en tot l'interval de valors Vf:

0 < Vi < T ≤ 2ViT-ViVi → 1/(T-Vi) ≥ 1/Vi → M ≥ Mv 

,gràficament es veu clarament com la pendent de la recta I és major a Iv:

[gràfica 3]

Curiosament si ens fixem una meta superior al doble del valor inicial de referència per a la millora de l'indicador obtenim l'efecte contrari i I < Iv en tot l'interval de valors Vf:

 T ≥ 2Vi > 0→ T-ViVi → 1/(T-Vi) ≤ 1/Vi → M ≤ Mv 

,aquesta situació correspondria gràficament a la recta de funció de millora roja:

 [gràfica 4]

Per exemple continuant amb els valors que havíem seleccionat anteriorment si fixem un valor de meta de 225 llavors: 
I = (125-100)/(225-100) = 0,2 = 20% < 25% = Iv

Dit d'una altra manera, si emprem la funció de mesura de millora I es tractaria de ser suficientment hàbil amb la fixació del valor de meta per obtenir el resultat de millora desitjat, s'etèn què vull dir no? Això és el que Artur Tallada defineix en el seu post com a Principi de Maximització (i de forma equivalent es pot arribar a la mateixa conclusió matemàtica dual amb el Principi de Minimització).

D'altra banda relativitzar el resultat de millora a l'apropament a un valor meta fixat és comprensible com a "efecte bàlsam" a nivell organitzatiu o fins i tot raonable considerant-lo un estímul de proximitat de fita (efecte ben conegut pels esportistes i les famoses metes volants o parcials). Però matemàticament crec que és discutible que l'efecte de meta hagi de repercutir sobre la funció de millora I d'una forma lineal tal i com ara està definit.

Per exemple es podria construir una funció de millora generalitzada de la següent forma:

I* = Iv · I
I* = ∆V/Vi · ∆V/∆T
I*(Vf) = ∆V2/(Vi ·∆T) = ( Vf - Vi )2 /(Vi ·∆T) = a·Vf 2 + b·Vf +c
ón:
a = 1/ (Vi ·∆T) = 1/(Vi ·(T - Vi))
b = -2a
c = a·Vi 2 
i per tant:
I*(Vi) = 0
(representaria el punt de millora nul·la)
 I*(T) = ∆T/Vi = (T-Vi) /Vi
(representaria el punt de millora de meta)

Amb la qual cosa si:

0 < Vi < T ≤ 2ViT-ViVi → (T-Vi) /Vi ≤ 1
i si:
T ≥ 2ViT-ViVi → (T-Vi) /Vi ≥ 1

de fet només s'assoliria el 100% de millora quan T ≥  2Vi.

El comportament gràfic d'aquesta nova funció de millora quadràtica I*(Vf) en relació a I i Iv seria el següent (la recta i paràbola de color roig correspondrien de variació amb T ≥  2Vi ):

 [gràfica 5]

La interpretació qualitativa de I* ens vindria a dir que la millora relativa i la velocitat de millora relativa  no és constant sinó que augmenta contra més prop ens situem amb Vf de l'objectiu T. Dit d'una altra forma voldria dir que per exemple fixant una meta de 200 sobre un valor inicial index 100 i amb un valor final 150, millorariem més ràpidament en el tram que passem de 125 a 150 que quan evolucionem de 100 a 125. O sigue que amb I* hauriem construït un indicador que reflexaria que els trams inicials dels processos de canvi i millora són més costosos que els trams superiors.

Amb aquesta exposició he volgut il·lustrar que emprar una mètrica de millora o un altra sobre un sistema d'indicadors donat, pot modificar substancialment els resultats dels processos de canvi que presenta una organització. No vull afirmar que I* sigue millor funció que I o Iv , però en tot cas si crec que no es pot prendre com una definició tancada i no subjecta a discrepàncies.

Ara espero amb ganes el següent post de l'Artur sobre teoria d'indicadors i els efectes de còmput de la mesura relativa de l'esforç en la percepció de la millora per part de les organitzacions sotmeses a processos de canvi. ;-)